Travaux Dirigés de Mathématiques 1 – Spécialités ELT-BAT

Résumé des Travaux Dirigés de Mathématiques 1 – Spécialités ELT-BAT
Ce document propose une série d’exercices couvrant plusieurs thèmes fondamentaux de l’analyse et des équations différentielles. Voici un aperçu des exercices :

\(\textbf{Exercice 1}\)
Étude complète d’une fonction exponentielle : \(f(x)=e^{−2x}+e^{−x}\) (domaine, variations, limites, courbe).

\(\textbf{Exercice 2}\)
Étude d’une fonction avec valeur absolue : \(f(x)=x^2-∣x∣.\)

Domaine de définition et parité.

Expression sans valeur absolue.

Dérivabilité en 0.

Étude sur \(R_+\) et tracé de la courbe.

\(\textbf{Exercice 3}\)
Vérification d’une relation classique entre arcsinus et arccosinus.

Détermination des expressions logarithmiques des fonctions argument sinus hyperbolique (Argsh) et argument tangente hyperbolique (Argth).

\(\textbf{Exercice 4}\)
Résolution d’équations différentielles linéaires :

Premier ordre : \(y'-4y=5, y'-2y=2x\).
Second ordre homogène : \(y''-5y'+6y=0\).
Second ordre avec second membre polynomial : \(y''-3y'+2y=4x^2\).
Second ordre avec second membre exponentiel : \(y''+2y'+y=4xe^x\).
Second ordre avec second membre trigonométrique : \(y''+y=\cos(x)\)

\(\textbf{Exercice 5}\) Établissement de développements limités au voisinage de 0 à différents ordres :
\(\bullet\) \(e^x\) à l’ordre 5.
\(\bullet\) \(\ln(1+x^2)\) à l’ordre 6.
\(\bullet\) \(e^{3x}\sin(2x)\) à l’ordre 4.
\(\bullet\) \(\frac{\ln(1+x)}{1+x}\) à l’ordre 3.


Ces exercices permettent de réviser les techniques d’étude de fonctions, les propriétés des fonctions trigonométriques inverses et hyperboliques, la résolution d’équations différentielles et le calcul de développements limités.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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