Examen BTS 2023 – Sujet 1 (Génie Civil)

Résumé de l’examen BTS 2023 – Sujet 1 (Génie Civil)
L’épreuve de Mathématiques, d’une durée de 4 heures, se compose de trois parties indépendantes.

Partie A : Analyse (8 points)
Exercice 1 – Étude de fonction (5 points)
Étude de la fonction \(f(x)=x^2+∣x∣\) :

Démonstration de la parité.

Expression de \(f\) sans valeur absolue sur \(R_+\)et \(R_-\) .

Étude de la dérivabilité en 0.

Étude des variations sur \(R_+\).

Tracé de la courbe représentative.

Exercice 2 – Équation différentielle (3 points)
Résolution de l’équation différentielle \(y''-y'+y=te^t\).

Partie B : Algèbre linéaire (6 points)
Étude de l’endomorphisme \(f\) de \(R^2\) défini par \(f(x,y)=(x−2y, −2x+y)\).

Vérification de la linéarité et détermination de la matrice \(A\) dans la base canonique.

Recherche des valeurs propres : montrer que \(α=−1\) est valeur propre et déterminer le sous-espace associé.

Introduction d’une nouvelle base \(B'=\{(1,1),(1,−1)\}\) et calcul de la matrice \(D\) de \(f\) dans cette base.

Matrice de passage \(P\) et relation \(A=PDP^{−1}\) .

Calcul de \(A^n\) pour tout entier \(n\).

Partie C : Probabilités et Statistiques (6 points)
Exercice 1 – Probabilités (3 points)
Un dé est truqué : les faces impaires ont deux fois plus de chance d’apparaître que les faces paires. Calcul de la probabilité d’obtenir un numéro supérieur ou égal à 5.

Exercice 2 – Statistiques (3 points)
À partir d’un relevé du nombre de pièces par appartement (effectifs donnés) :

Calcul des effectifs cumulés, fréquences et fréquences cumulées.

Réponse à des questions sur le nombre d’appartements (avec 5 pièces, plus de 3 pièces).

Tracé du diagramme en bâtons et du polygone des fréquences cumulées.

Détermination du mode et de la médiane.

Calcul de la moyenne, de la variance et de l’écart-type.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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