Développement limité (1)

Cet ensemble d'exercices corrigés donnent un éventail d'exercices de qualité très utiles pour comprendre et maitriser cette notion de développement limité.

Exercice 1.
Établir un développement limité en 0 à l'ordre indiqué :
$\circ$ $f(x)=e^x$, ordre 5
$\circ$ $f(x)=\ln(1+2x)$, ordre 6
$\circ$ $f(x)=\sin(2x)+\cos(2x)$, ordre 7
$\circ$ $f(x)=e^{3x}\sin(2x)$, ordre 4
$\circ$ $f(x)=\tan(x)$, ordre 5

$\texttt{Correction Exercice 1}$
1. $e^x$
\[
e^x = \]
\[1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)
\]
2. $\ln(1+2x)$
On utilise :
\[
\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\frac{u^4}{4}+\cdots
\]
Avec $u=2x$ :
\[
\ln(1+2x)=\]
\[2x - 2x^2 + \frac{8}{3}x^3 - 4x^4 + o(x^4)
\]
3. $\sin(2x)+\cos(2x)$
\[
\sin(2x)=2x - \frac{(2x)^3}{6} + \frac{(2x)^5}{120} + o(x^5)
\]
\[
\cos(2x)=1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} + o(x^4)
\]
Somme :
\[
=1 + 2x - 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^4 + o(x^4)
\]
4. $e^{3x}\sin(2x)$
\[
e^{3x}=1+3x+\frac{9x^2}{2}+\frac{9x^3}{2}+o(x^3)
\]
\[
\sin(2x)=2x - \frac{4x^3}{3} + o(x^3)
\]
Produit :
\[
f(x)=2x + 6x^2 + \frac{23}{3}x^3 + o(x^3)
\]
5. $\tan(x)$
\[
\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)
\]

Exercice 2.
Soit :
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\
0 & x=0
\end{cases}
\]
$\circ$ Montrer que $f$ admet un DL à l'ordre 2 en 0
$\circ$ Étudier la dérivabilité

$\texttt{Correction Exercice 2}$
1. DL en 0
On sait que :
\[
\sin\left(\frac{1}{x}\right) \text{ est bornée}
\]
Donc :
\[
x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = o(x)
\]
Ainsi :
\[
f(x)=o(x)
\]
Le DL est donc :
\[
f(x)=0 + o(x)
\]
2. Dérivabilité
On calcule :
\[
f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right)
\]
Le terme $\cos(1/x)$ n'admet pas de limite en 0.
Donc :
\[
f \text{ n'est pas deux fois dérivable en 0.}
\]

---

Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

---