Etude de fonctions

Les exercices sur ce PDF sont accompagnés chacun d'un corrigé bien détaillé pour vous permettre d'exceller sur l'étude des fonctions.

$\texttt{Chapitre 5}$
Exercice 1.
Étudiez les fonctions suivantes:
Vous trouverez des corrigés détaillés sur le PDF ci-joint.

$\circ$ $f(x) = \dfrac{-3x+4}{2x+3}$

$\circ$ $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x - 5}{2(x^2 - 4x + 3)}$ --- aide: $f''(x) = \dfrac{-8(3x^2 - 12x + 13)}{(x^2 - 4x + 3)^3}$

$\circ$ $f(x) = \dfrac{x(x-3)^2}{(x-2)^2}$ --- aide: $f''(x) = \dfrac{6(4-x)}{(x-2)^4}$

$\circ$ $f(x) = \dfrac{x^3 + x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

$\textbf{Autres types de fonctions}$
$\circ$ $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\circ$ $f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$
$\circ$ $f(x) = (2x^2 + 2x - 1) \cdot e^{-2x}$
$\circ$ $f(x) = \dfrac{\ln(x^2) + 1}{2x}$
$\circ$ $f(x) = (e^x - 5)(e^x + 1)$
$\circ$ $f(x) = \sqrt{1 + x^2}$

Exercice 2.
En photographie, la $\textit{profondeur de champ}$ correspond à la zone de l'espace dans laquelle doit se trouver le sujet à photographier pour en obtenir une image que l'œil considérera nette.
En optique, pour que la netteté s'étende de la distance $a$ à la distance $r$, la mise au point doit être faite à la distance $p = \dfrac{2ar}{a+r}$ (les distances sont exprimées en mètres).
$\circ$ À quelle distance doit être faite la mise au point pour photographier un sujet dont les éléments intéressants sont à une distance comprise entre 1,5m et 3m?

On souhaite désormais que les sujets soient nets à partir d'une distance de 5m.
$\circ$ Démontrez que pour $a > 5$, $p = 10 - \dfrac{50}{5+r}$.
$\circ$ Étudiez la fonction $p$ du point précédent et dessinez son graphe.
$\circ$ On souhaite que la netteté s'étende de «5m à l'infini». Quelle distance de mise au point doit-on choisir?

Exercice 3.
La courbe $\mathcal{C}$ ci-après représente le nombre de personnes malades (en milliers) dans un pays lors d'une épidémie en fonction du nombre $t$ de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie.
(Téléchqrgez le PDF pour tout voir.)
$\circ$ Estimez graphiquement le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte. Expliquez la démarche utilisée.
On modélise le nombre de malades (en milliers) en fonction du temps, à l'aide de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,60]$ par $f(t) = t^2 e^{-0{,}1t}$ où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie.
Pour étudier les propriétés de la fonction $f$, on a utilisé un logiciel de calcul formel qui a fourni les résultats suivants:
$\circ$ $f'(t) = 0{,}1\,t\,(20-t)\,e^{-0{,}1t}$
$\circ$ $f''(t) = (0{,}01t^2 - 0{,}4\,t + 2)\,e^{-0{,}1t}$
$\circ$ $F(t) = (-10t^2 - 200t - 2000)\,e^{-0{,}1t}$

où $f'$ désigne la \textbf{dérivée} de $f$, $f''$ désigne sa \textbf{dérivée seconde} et $F$ une \textbf{primitive} de $f$.
$\circ$ Confirmez le résultat $f'(t) = 0{,}1\,t\,(20-t)\,e^{-0{,}1t}$ qui a été fourni par le logiciel.
$\circ$ Déterminez le signe de $f'(t)$ sur $[0\,;\,60]$.
$\circ$ Dressez le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0\,;\,60]$.
$\circ$ Le nombre moyen $M$ de malades par jour, en milliers, durant les $n$ premiers jours après l'apparition de la maladie est donné par $M(n) = \dfrac{1}{n}\bigl(F(n) - F(0)\bigr)$.
Calculez $M(10)$, $M(20)$ et $M(60)$.
$\circ$ Justifiez par le calcul que, sur l'intervalle $[0\,;\,15]$, la courbe de la fonction $f$ admet un unique point d'inflexion. Calculez l'abscisse de ce point d'inflexion.
$\circ$ Donnez une interprétation concrète de cette abscisse.

Exercice 4.
La courbe $\mathcal{C}$ ci-après, associée à une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,19]$, représente l'audience journalière d'une chaîne de télévision entre le $1^{\text{er}}$ janvier 2000 (année numéro 0) et le $1^{\text{er}}$ janvier 2019 (année numéro 19), c'est-à-dire le nombre quotidien de téléspectateurs, en milliers.
(Téléchqrgez le PDF pour tout voir.)
Ainsi, le $1^{\text{er}}$ janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ $460\,000$ téléspectateurs.

$\circ$ Donnez une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le $1^{\text{er}}$ janvier 2014.

$\circ$ La droite $(AB)$, où les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(0\,;\,460)$ et $B(3\,;\,82)$, est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.
Déterminez la valeur de $f'(0)$, sans calculer la dérivée.
Comment interprétez-vous ce résultat?

On cherche maintenant à prévoir l'évolution de l'audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années. On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,29]$ par $f(x) = (20x^2 - 80x + 460)\,e^{-0{,}1x}$, où $x$ représente le nombre d'années depuis 2000 (par exemple $x = 19$ pour l'année 2019).
$\circ$ Calculez au millier près le nombre de téléspectateurs de la chaîne le $1^{\text{er}}$ janvier 2014.
$\circ$ Démontrez que la dérivée $f'$ est définie par $f'(x) = (-2x^2 + 48x - 126)\,e^{-0{,}1x}$.
$\circ$ Construisez le tableau de signes de $f'$ sur l'intervalle $[0\,;\,29]$.
$\circ$ Construisez le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,29]$.
$\circ$ Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l'année 2029? Justifiez.
$\circ$ Montrez que l'équation $f(x) = 800$ admet une solution unique dans l'intervalle $[3\,;\,21]$. Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il $800\,000$?

On admet que $F(x) = (-200x^2 - 3200x - 36600)\,e^{-0{,}1x}$ est une primitive de la fonction $f$.
$\circ$ Déterminez à mille près l'audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne de télévision entre le $1^{\text{er}}$ janvier 2018 et le 1er janvier 2019.

$\texttt{Ce qu'il faut absolument savoir}:$
$\bullet$ Trouver les asymptotes d'une fonction.
$\bullet$ Connaître les huit étapes de la méthode par cœur.
$\bullet$ Maîtriser les huit étapes, en particulier les limites, les dérivées et les tableaux de signes.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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