Contrôle Continu de Mathématiques - BAT 1

$\textbf{CC de Maths - BAT 1}$
$\texttt{Institut Universitaire Siantou}$
Durée : 2h

Exercice 1 (8 points)
On donne la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-\sqrt{|x-1|}\) et on note \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

$\circ$ Donner l’expression de \(f\) sans les barres de valeur absolue sur \([1;+\infty[\) et sur \(]-\infty;1]\). (2 pts)
$\circ$ Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(1\). (1 pt)
$\circ$ Étudier la fonction \(f\) sur \(]-\infty;1]\). (1 pt)
$\circ$ Étudier la fonction \(f\) sur \([1;+\infty[\). (1 pt)
$\circ$ Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)
$\circ$ Tracer la courbe \((C_f)\). (1 pt)

Exercice 2 (8 points)
Soit \(f\) la fonction définie par
\[
f(x)=\arccos\!\left(\frac{1}{x^2+2}\right).
\]
\((C)\) désigne sa courbe représentative dans le repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).
\(\mathbb{R}^*\) désigne l’ensemble des réels strictement négatifs et \(\mathbb{R}_+\) l’ensemble des réels strictement positifs.

$\circ$ Montrer que \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
$\circ$ Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). En déduire une équation de l’asymptote de \((C)\). (1 pt)
$\circ$ Calculer la dérivée \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\). Donner l’expression de \(f'(x)\) pour \(x\in\mathbb{R}^*\) puis pour \(x\in\mathbb{R}_+\). (1 pt)
$\circ$ Étudier le sens de variations de \(f\) et établir son tableau de variations. (2 pts)
$\circ$ Résoudre l’équation \(f(x)=0\), puis calculer \(f(0)\). (1 pt)
$\circ$ Construire l’asymptote horizontale de \((C)\) ainsi que la courbe \((C)\) dans le repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\). (1 pt)

Exercice 3 (4 points)
$\circ$ Démontrer que pour tout réel \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\),
\[
\arctan\!\left(\frac{1}{x}\right)+\arctan\!\left(\frac{1}{1+x}\right)=c,
\]
où \(c\) est une constante à déterminer. (2 pts)
$\circ$ Démontrer que pour tout réel \(x\),
\[
\operatorname{argsh}(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right). \quad (2 pts)
\]

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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