Transformations de Laplace

Quelques exercices simples pour comprendre la notion de Transformation de Laplace.

1. Calcul de transformées de Laplace directes.
Calculer les transformées de Laplace suivantes :
a) $\mathcal{L}\bigl[\cos(t)\,e^{-t}\,U(t)\bigr]$
b) $\mathcal{L}\bigl[(5t)^2 e^{-5t}\,U(t)\bigr]$
c) $\mathcal{L}\bigl[(\cos(2t)-\sin(t))\,e^{-3t}\,U(t)\bigr]$
d) $\mathcal{L}\bigl[(t^2+t+1)e^{-2t}\,U(t)\bigr]$

2. Calcul d’originaux (transformée inverse).
Déterminer les originaux suivants :
a) $\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{3}{p+2}-\frac{1}{p^3}\right]$
b) $\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{-2}{(p+3)^2}\right]$
c) $\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{5}{(p+3)(p^2+3p+5)}\right]$
d) $\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{p}{p^2+4p+6}\right]$
e) $\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{p}{(p+1)^2}\right]$
f) $\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{2p+3}{2p^2+4p+5}\right]$

3. Équations différentielles - solution particulière.
Utiliser la transformée de Laplace pour déterminer la $\textbf{solution particulière}$ de chaque équation différentielle (les conditions initiales sont données).
a) $x'(t)+x(t)=t\,U(t)-t\,U(t-1)$, $x(0)=0$.
b) $x''(t)+x'(t)=U(t)$, $x(0)=0,\;x'(0)=0$.
c) $x''(t)+4x(t)=2\,U(t)$, $x(0)=0,\;x'(0)=1$.
d) $x''(t)+5x'(t)+4x(t)=e^{-2t}\,U(t)$, $x(0)=1,\;x'(0)=0$.
e) $x''(t)+2x'(t)+2x(t)=0$, $x(0)=1,\;x'(0)=1$.

4. Équations différentielles - résolution complète.
Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre les équations différentielles suivantes (les conditions initiales sont spécifiées).
a) $x''(t)+3x'(t)+2x(t)=0$, $x(0)=1,\;x'(0)=0$.
b) $x''(t)+6x'(t)+9x(t)=e^{-2t}\,U(t)$, $x(0)=0,\;x'(0)=0$.
c) $x''(t)-x(t)=(3e^{-2t}+t^2+1)\,U(t)$, $x(0)=0,\;x'(0)=0$.
d) $x''(t)-4x(t)=(3e^{-t}-t^2)\,U(t)$, $x(0)=0,\;x'(0)=1$.
e) $x''(t)+x(t)=e^{t}\cos(t)\,U(t)$, $x(0)=0,\;x'(0)=0$.
f) $x''(t)+x(t)=U(t)-U(t-1)$, $x(0)=2,\;x'(0)=0$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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