Nombres complexes

Ces exercices portant sur les nombres complexes sont non corrigés. Ils vous permettront de maitriser et de pouvoir bien manipuler les nombres complexes.

$\texttt{TD: Nombres Complexes}$
$\textbf{Exercice 1}$
$\textbf{1)}$ Mettre sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
\[
\text{a)}\quad \frac{1+i}{1-i}
\]
\[
\text{b)}\quad \frac{(1+2i)(-2+5i)}{(7+3i)(-12+i)}
\]
\[
\text{c)}\quad \frac{(1+i)(4+3i)}{(5-i)(2+i)}
\]
$\textbf{2)}$ Soit $z\in \mathbb{C}$ et $Z=\dfrac{z+1}{z-1}$.
Dans le plan complexe, on désigne par $M$ le point d’affixe $Z$ et par $M'$ le point d’affixe $\overline{Z}$.
$\textbf{a)}$ Déterminer l’ensemble $D$ des points $M$ tels que $Z$ soit un nombre réel.
$\textbf{b)}$ Déterminer l’ensemble $C$ des points $M$ tels que $Z$ soit un nombre imaginaire pur.

$\textbf{3)}$ Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation :
$
\left(\frac{z-i}{z+i}\right)^3
+
\left(\frac{z-i}{z+i}\right)^2
+
\left(\frac{z-i}{z+i}\right)
+1=0
$

$\textbf{4)}$ Soit
\[
f(z)=z^3+az^2+bz+c
\]
avec
\[
a=i,\quad b=-3+4i,\quad c=-4-3i
\]
$\textbf{a)}$ Vérifier que $f(-i)=0$, $f(i)=-8(1+i)$ et $f(1)=-6+2i$.
$\textbf{b)}$ Vérifier que $f(z)=(z+i)(z^2-3+4i)$.
$\textbf{c)}$ Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $f(z)=0$.

$\textbf{Exercice 2}$
$\textbf{a)}$ Soit
\[
z=\frac{(1+\sqrt2)+i}{(1+\sqrt2)-i}
\]
Déterminer $|z|$ et $\theta=\arg(z)$, puis calculer
\[
z^{20},\qquad z^{23},\qquad z^{36}.
\]
$\textbf{b)}$ On pose
\[
z_1=-1-i,\, z_2=-1+i\sqrt3,\, Z=\frac{z_1}{z_2}.
\]
Déterminer $\mathrm{Re}(Z)$ et $\mathrm{Im}(Z)$ puis en déduire
\[
\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)
\quad\text{et}\quad
\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right).
\]
\textbf{c)} On considère dans $\mathbb{C}$ l’équation
$
(E): z^2+(1-i\sqrt3)z-(1+i\sqrt3)=0
$
$\textbf{c1)}$ Résoudre $(E)$ et exprimer les solutions $z_1,z_2$ en fonction de
\[
a=\frac{\sqrt3+i}{2},
\qquad
b=\frac{-1+i\sqrt3}{2}.
\]
$\textbf{c2)}$ Mettre $a$ et $b$ sous forme trigonométrique et représenter leurs points images sur un cercle trigonométrique.
$\textbf{c3)}$ En déduire une construction simple des points images des solutions de $(E)$.
$\textbf{c4)}$ Déduire alors les valeurs de
\[
\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)
\quad\text{et}\quad
\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right).
\]
$\textbf{d)}$ Soit
\[
z=\frac{9\sqrt3}{2}(1-i\sqrt3).
\]
$\textbf{d1)}$ Mettre $z$ sous forme trigonométrique.
$\textbf{d2)}$ En déduire les racines cinquièmes de $z$.

$\textbf{Exercice 3}$
$\textbf{1)}$ On pose
\[
c=1+i\sqrt2.
\]
$\textbf{a)}$ Déterminer sous forme trigonométrique les complexes $z$ tels que $z^3=c$.

$\textbf{b)}$ Démontrer que pour l’un d’eux on a
\[
z^3+\overline{z}=0.
\]
$\textbf{c)}$ Trouver tous les nombres complexes $z\in\mathbb C$ tels que
\[
z^3+\overline{z}=0.
\]

$\textbf{2)}$ Soit
\[
u=2-2i\sqrt3.
\]
$\textbf{a)}$ Résoudre $z^4=u$.
$\textbf{b)}$ Déterminer par la méthode algébrique les complexes $X$ tels que
\[
X^2=u
\]
puis les complexes $z$ tels que
\[
z^4=u.
\]
$\textbf{c)}$ En déduire les valeurs de
\[
\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)
\quad\text{et}\quad
\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right)
\]
sous forme de radicaux simples.

$\textbf{Exercice 4}$
Dans chacun des cas suivants :
$\textbf{1)}$ Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe :
$\textbf{a)}$ $z'=iz+1$
$\textbf{b)}$ $z'=\left(\frac{1+i\sqrt3}{4}\right)z+2i$
$\textbf{c)}$ $z'=-z+2i$
$\textbf{d)}$ $z'=(1-i)z+1$

$\textbf{2)}$ Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe $S(\Omega;k;\alpha)$ où :
$\textbf{a)}$ $\Omega(1+i)$, $k=2$, $\alpha=\frac{2\pi}{3}$.
$\textbf{b)}$ $\Omega(i)$, $k=\frac{\sqrt2}{2}$, $\alpha=\frac{\pi}{3}$.

$\texttt{Proposé par}$:
Samuel Mouchili

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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