Calcul matriciel et Diagonalisation

Sur cet ensemble d'exercices, chaque exercice comporte un corrigé. Les exercices portent sur le calcul matriciel et la notion de diagonalisation des endomorphismes.

Exercice 1.
Soit
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
3 & 1
\end{pmatrix}
\]

Nous voulons savoir si $A$ est diagonalisable, et dans ce cas, trouver la matrice $P$ telle que
$P^{-1}AP$ est diagonale.

$\circ$ Calculer le polynôme caractéristique de $A$ :
\[
p_A(x)=\det(A-xI_2)
\]

$\circ$ Résoudre l'équation $p_A(x)=0$ et trouver les valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$ de $A$

$\circ$ $A$ est-elle diagonalisable ? (évidemment oui. Pourquoi ?)

$\circ$ Résoudre le système linéaire
\[
(A-\lambda_1 I)X=0
\]
$\circ$ En déduire un vecteur propre $v_1$ pour $A$ de valeur propre $\lambda_1$.
$\circ$ Même chose pour $\lambda_2$, trouver un vecteur propre $v_2$.
$\circ$ Écrire la matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ est diagonale.
$\circ$ Calculer $P^{-1}$.
$\circ$ Vérifier que $P^{-1}AP$ est diagonale. Qu’apparaît-il sur la diagonale principale ?
Enfin, calculer $A^5$ et $A^n$, $n$ naturel.

Exercice 2
Dire si les matrices suivantes sont diagonalisables et dans ce cas les diagonaliser :
\[
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
1&2\\
-1&4
\end{pmatrix},
\]
\[
\begin{pmatrix}
1&4\\
2&-1
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\]
Calculer la puissance $4$ des matrices diagonalisables.

Exercice 3.
Dire si les matrices suivantes sont diagonalisables et dans ce cas les diagonaliser :
\[
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&0
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix},
\]
\[
\begin{pmatrix}
1&4\\
4&1
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
0&0\\
0&0
\end{pmatrix}
\]

Exercice 4.
Donner une formule compacte pour $x_n$ et $y_n$, définis par les équations récurrentes
\[
\begin{cases}
x_{n+1}=x_n+2y_n \\
y_{n+1}=2y_n+x_n
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x_{n+1}=x_n-2y_n \\
y_{n+1}=-2y_n+x_n
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x_{n+1}=x_n+4y_n \\
y_{n+1}=4y_n+x_n
\end{cases}
\]

Stratégie générale :
$\circ$ écrire la récurrence de façon matricielle,
$\circ$ écrire la relation entre $(x_n,y_n)$ et $(x_0,y_0)$,
$\circ$ se convaincre qu’il faut calculer la puissance $n$-ième d’une matrice $A$,
$\circ$ à l’aide de la diagonalisation calculer $A^n$,
$\circ$ donner les formules compactes pour $x_n$ et $y_n$.

$\textbf{ Autres exercices.}$

Exercice 1.
On considère l’endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ défini par
\[
f(x,y,z)=\]\[(3x-z,\;2x+4y+2z,\;-x+3z)
\]
$\circ$ Déterminer la matrice $A=\text{Mat}(f)_B$ dans la base canonique.
$\circ$ Déterminer le polynôme caractéristique de $f$.
$\circ$ Déterminer une base pour chaque espace propre.
$\circ$ Trouver une matrice $P$ telle que
\[
A=PDP^{-1}
\]
$\circ$ Déterminer la matrice $A^n$ pour tout $n\ge1$.

Exercice 2.
Diagonaliser les matrices suivantes si possible :
\[
A=
\begin{pmatrix}
-1&1&1\\
1&-1&1\\
1&1&-1
\end{pmatrix}
\]
\[
B=
\begin{pmatrix}
2&-1&1\\
1&0&-1\\
2&-2&1
\end{pmatrix}
\]

Exercice 3.
Diagonaliser les matrices suivantes et en déduire $A^7$ :
\[
A=
\begin{pmatrix}
-1&2&3\\
0&-2&0\\
1&2&1
\end{pmatrix}
\]
\[
B=
\begin{pmatrix}
1&3&0\\
3&-2&-1\\
0&-1&1
\end{pmatrix}
\]

Exercice 4.
Déterminer pour quelles valeurs des réels $a,b,c$ la matrice
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&a&1\\
0&1&b\\
0&0&c
\end{pmatrix}
\]
est diagonalisable.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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