Séries de Fourier

Les séries de Fourier permettent de décomposer toute fonction périodique
$f(x)$ (satisfaisant certaines conditions) en une somme de sinus et cosinus. Elles sont utiles pour analyse de signaux, résolution d’équations différentielles, physique des vibrations. Elles permettent de transformer des problèmes complexes périodiques en combinaisons simples de fonctions sinusoïdales.

Séries de Fourier — Résumé

I. Définition

Une série de Fourier est une série de terme général $u_n = a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)$, soit :
$$a_0 + \sum_{n\geq 1} a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)$$
Les réels $a_n$, $b_n$ sont les \emph{coefficients de Fourier}. Si la série converge pour tout $t$, elle définit une fonction $S(t)$ vers laquelle elle converge.

II. Décomposition d'une fonction en série trigonométrique

1. Calcul des coefficients

Soit $f$ continue par morceaux, $T$-périodique. Si $f$ s'écrit comme somme d'une série de Fourier, alors $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ et :
$$a_0 = \frac{1}{T}\int_\alpha^{\alpha+T} f(t)\,dt, $$
$$a_n = \frac{2}{T}\int_\alpha^{\alpha+T} f(t)\cos(n\omega t)\,dt, $$
$$b_n = \frac{2}{T}\int_\alpha^{\alpha+T} f(t)\sin(n\omega t)\,dt$$

2. Conditions de Dirichlet et convergence

$f$ satisfait aux conditions de Dirichlet ($f$ est $C^1$ par morceaux, noté $CM^1$) si : sauf en un nombre fini de points par période, $f$ est continue, dérivable, de dérivée continue ; en ces points, $f$ et $f'$ admettent des limites finies à gauche et à droite.

Si $f$ vérifie les conditions de Dirichlet :
$\text{si } f \text{ est continue en } t : $ $S(t) = f(t)$;
$\text{si } f \text{ est discontinue en } t :$ $S(t) = \frac{1}{2}\bigl[f(t^+)+f(t^-)\bigr]$.

3. Simplifications par parité

Si $f$ est paire : $\forall n,\ b_n = 0$, et
$$a_0 = \frac{2}{T}\int_0^{T/2} f(t)\,dt,$$ $$a_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} f(t)\cos(n\omega t)\,dt$$
Si $f$ est impaire : $\forall n,\ a_n = 0$, et
$$b_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} f(t)\sin(n\omega t)\,dt$$

III. Analyse spectrale

La série de Fourier peut s'écrire sous forme d'amplitudes :
$$a_0 + \sum_{n\geq 1} A_n\sin(n\omega t - \varphi_n),$$ $$A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$$
Le spectre de $f$ est la suite $(A_n)$.

IV. Formule de Parseval

Soit $f$ périodique et continue par morceaux :
$$\frac{1}{T}\int_0^T [f(t)]^2\,dt = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)$$

V. Forme complexe

La série de Fourier s'écrit aussi $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega t}$ avec
$$c_n = \frac{1}{T}\int_\alpha^{\alpha+T} f(t)\,e^{-in\omega t}\,dt$$
Relations avec les coefficients réels :
$$c_0 = a_0, \qquad c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}$$

Formule de Parseval en forme complexe :
$$\frac{1}{T}\int_0^T [f(t)]^2\,dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2$$

---

Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

---