Séries numériques

Une série numérique est la somme des termes d’une suite (Un).
Séries classiques : géométriques, télescopiques, harmoniques…
Critères de convergence : comparaison, d’Alembert, Cauchy, Leibniz (pour alternées)…
Utiles pour approximation de fonctions, développement en séries, et résolution d’équations.

1. Généralités

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ une suite réelle ou complexe. Sommes partielles : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.

Série $\sum u_n$
converge (CV) $\iff$ $\lim_{n\to\infty} S_n $ existe (notée $\sum_{n\ge0} u_n$);
divergente (DIV) $\iff$ non convergence;
absolument convergente (AC) $\iff$ $\sum |u_n|$ CV.

Si CV sans être AC : convergence simple (CS).

Modifier un nombre fini de termes ne change pas la nature.

$\textbf{Critère de Cauchy}$ : (série dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) AC $\Rightarrow$ CV.

$\textbf{Série géométrique}$ : $u_n = c a^n$ ($c\neq0$). CV $\iff |a|0$, $\ell = \lim u_{n+1}/u_n$.
$\bullet$ Si $\ell1$ : DIV.
$\bullet$ Si $\ell=1$ : cas douteux.
Variante : si $u_{n+1}/u_n \le \ell1$, DIV.

$\textbf{Règle de Cauchy}$ : $u_n\ge0$, $\ell = \lim \sqrt[n]{u_n}$.
Mêmes conclusions : $\ell1$ DIV, $\ell=1$ douteux.

3. Comparaison avec une intégrale

Si $f:[a,\infty[\to\mathbb{R}^+$ décroissante et $u_n=f(n)$ ($n\ge a$), alors
\[
\int_a^\infty f(t)\,dt \text{ CV } \iff \sum_{n\ge a} u_n \text{ CV}.
\]
$\textbf{Série de Riemann}$: $\sum_{n\ge1} 1/n^\alpha$ CV $\iff \alpha>1$.

$\textbf{Série de Bertrand}$ : $\sum_{n\ge2} 1/(n^\alpha (\ln n)^\beta)$ CV $\iff (\alpha>1)$ ou $(\alpha=1,\ \beta>1)$.

$\textbf{Constante d’Euler}$ : $H_n = 1+\frac12+\cdots+\frac1n $ $= \ln n + \gamma + o(1)$.

4. Séries alternées

$u_n = (-1)^n a_n$ avec $a_n\ge0$, $a_n$ décroissante et $a_n\to0$. Alors $\sum u_n$ converge, et
\[
S_{2n+1}\le S \le S_{2n},\, |R_n| = \bigl|\sum_{k\ge n} u_k\bigr| \le a_n.
\]

5. Convolution (produit de Cauchy)

$c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. Si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont AC (ou à termes $\ge0$ et CV), alors $\sum c_n$ est CV (ou AC) et $\sum c_n = (\sum a_n)(\sum b_n)$.

$\textbf{Fonction exponentielle}$ : $e^z = \sum_{n\ge0} \frac{z^n}{n!}$ est AC pour tout $z\in\mathbb{C}$, et $e^{y+z}=e^y e^z$.

6. Compléments : transformation d’Abel

Formule de sommation par parties :
\[
\sum_{n=p}^{q} a_n(b_{n+1}-b_n) =\] \[ \sum_{n=p+1}^{q} b_n(a_{n-1}-a_n) + a_q b_{q+1} - a_p b_p.
\]
$\textbf{Règle d’Abel}$ : si $A_n=\sum_{k=0}^n a_k$ est bornée, $u_n\to0$ et $\sum |u_{n+1}-u_n|$ converge, alors $\sum a_n u_n$ converge. En particulier, si $u_n$ est réelle, positive, décroissante vers $0$ et $A_n$ bornée, alors $\sum a_n u_n$ converge.

7. Sommes de Riemann

Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continue par morceaux. Alors
\[
\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt.
\]

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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