Fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques inverses, comme arcsin, arccos et arctan, sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques usuelles sur des intervalles restreints où celles-ci sont bijectives. Le cours étudie leur domaine de définition, leurs valeurs remarquables, leurs variations et leurs dérivées. Elles permettent de résoudre des équations trigonométriques et apparaissent fréquemment en analyse et en géométrie.

I. Fonction arcsin

$\sin$ est strictement croissante sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$,
donc on définit :
$$\arcsin : [-1,1] \longrightarrow \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$y = \arcsin(x) \iff \sin(y) = x $ et $ -\dfrac{\pi}{2} \leq y \leq \dfrac{\pi}{2}$

Dérivée sur $]-1,1[$ :
$$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

II. Fonction arccos

$\cos$ est strictement décroissante sur $[0, \pi]$, donc :
$$\arccos : [-1,1] \longrightarrow [0, \pi]$$
$y = \arccos(x) \iff \cos(y) = x $ et $ 0 \leq y \leq \pi$

Dérivée sur $]-1,1[$ :
$$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Remarque : $\forall x \in [-1,1],$ $\arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}$

III. Fonction arctan

$\tan$ est strictement croissante sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$,
d'image $\mathbb{R}$, donc :
$$\arctan : \mathbb{R} \longrightarrow \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$$
$y = \arctan(x) \iff \tan(y) = x$ et $-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$

Dérivée sur $\mathbb{R}$ :
$$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$$

IV. Primitives usuelles complémentaires

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin(x) + \lambda.$$
$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan(x) + \lambda$$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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