Fonctions à plusieurs variables

Les fonctions à plusieurs variables associent une valeur réelle à plusieurs variables réelles. Leur étude consiste à analyser le domaine de définition, la continuité et les variations selon chaque variable. Le cours introduit les dérivées partielles, le gradient, ainsi que la recherche des points critiques et des extrema. Ces outils permettent de comprendre le comportement local et global des fonctions et sont essentiels en optimisation, en géométrie et en modélisation scientifique.

Résumé : Fonctions de plusieurs variables

1. Espace $\mathbb{R}^n$ et notions topologiques

$\textbf{Normes usuelles}$ (équivalentes)~:
\[
\|X\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\,
\|X\|_\infty = \max_{1\le i\le n}|x_i|,\]\[
\|X\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|
\]
$\textbf{Boules}$ : ouverte $B(X_0,r)=\{X\mid \|X-X_0\|0$, $B(X_0,r)\subset U$.

$\textbf{Fermé}$ : $F$ fermé si $\mathbb{R}^n\setminus F$ ouvert.

$\textbf{Borné}$ : $P$ borné s'il existe $R>0$ tq $\|X\|\le R$ pour tout $X\in P$.

$\textbf{Compact}$ : fermé + borné.

2. Fonctions réelles de plusieurs variables

$f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. Pour $n=2$ : $z=f(x,y)$ donne une surface.

$\textbf{Lignes de niveau}$ : $\{ (x,y)\mid f(x,y)=k\}$.

3. Continuité

$f$ continue en $A$ si $\forall\varepsilon>0$, $\exists\alpha>0$ tq $\|X-A\| \text{ plus petit que }\alpha$ $\Rightarrow |f(X)-f(A)| \text{ plus petit que }\varepsilon$.

La limite doit être indépendante du chemin suivi.

$\textbf{Coordonnées polaires}$ ($n=2$) : $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ pour étudier les limites.

4. Dérivées partielles

\(
\frac{\partial f}{\partial x_i}(A)\)\(=\lim_{h\to0}\frac{f(a_1,\dots,a_i+h,\dots,a_n)-f(A)}{h}
\)

Existence des dérivées partielles $\texttt{n'implique pas}$ la continuité.

$f$ est de classe $C^1(U)$ si toutes ses dérivées partielles existent et sont continues sur $U$ (alors $f$ est continue).

5. Dérivées d'ordre supérieur, théorème de Schwartz

Si $f\in C^2(U)$ alors $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$.

6. Dérivée directionnelle et différentielle

Dérivée directionnelle suivant $\vec{u}$ en $A$ : $f'_{\vec{u}}(A)=\lim_{t\to0}\frac{f(A+t\vec{u})-f(A)}{t}$.

$\textbf{Différentielle}$ : $f$ différentiable en $A$ s'il existe une application linéaire $L$ tq
\[
f(A+H)-f(A)=L(H)+o(\|H\|),\]
avec \(L(H)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(A)h_i.\)

On note $df_A(H)=L(H)$. La différentiabilité implique la continuité.

$f\in C^1(U)$ $\Rightarrow$ $f$ différentiable sur $U$.

7. Développement limité (ordre 2) et plan tangent

Pour $f\in C^2$ au voisinage de $(x_0,y_0)$:
\(
f(x_0+h,y_0+k)\)\(=f(x_0,y_0)+h\frac{\partial f}{\partial x}+k\frac{\partial f}{\partial y}\)\(
+\frac12\Bigl(h^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+2hk\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}+k^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\Bigr)\)\(+o(h^2+k^2).
\)

$\textbf{Plan tangent}$ en $(x_0,y_0)$:
\(
z=f(x_0,y_0)+(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\)\(+(y-y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0).
\)

8. Extrema locaux

Si $f\in C^1(U)$ et $A$ est un extremum local (intérieur) alors $\frac{\partial f}{\partial x_i}(A)=0$ pour tout $i$ (point critique).

$\textbf{Matrice hessienne}$ :
\[
H_f(A)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(A)\Bigr)_{i,j}.
\]
Pour $n=2$, notons $r=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $s=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$, $t=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ et $\Delta=rt-s^2$.

$\bullet$ Si $\Delta>0$ et $r>0$ : minimum local.
$\bullet$ Si $\Delta>0$ et $r$ less than $0$ : maximum local.
$\bullet$ Si $\Delta$ less than $0$ : point selle (ni min ni max).

(On utilise la forme quadratique $Q(h,k)=rh^2+2shk+tk^2$.)

9. Fonctions vectorielles

$f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$, $f=(f_1,\dots,f_p)$. $f$ continue ssi chaque $f_i$ continue.

$\textbf{Matrice jacobienne}$ :
\[
J_f(A)=\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(A) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(A)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_p}{\partial x_1}(A) & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_n}(A)
\end{pmatrix}
\]
$f$ différentiable en $A$ ssi chaque $f_i$ l'est, et $df_A(H)=J_f(A)\,H$.

$\textbf{Composition}$ : $J_{g\circ f}(A)=J_g(f(A))\,J_f(A)$.

10. Opérateurs différentiels (pour $\mathbb{R}^3$)

$\textbf{Gradient}$ : $\nabla f = \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\bigr)$.

$\textbf{Divergence}$ : $\operatorname{div}\vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$.

$\textbf{Rotationnel}$ : $\operatorname{rot}\vec{F} =$ $ \bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\bigr)$.

$\textbf{Laplacien}$ : $\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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