Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Voici un ensemble de neuf exercices sur les fonctions trigonométriques et hyperboliques accompagnés des indications pour mieux les appréhender et ainsi mieux préparer votre examen BTS Cameroun et ailleurs.

Fonctions circulaires et hyperboliques inverses.

$\texttt{Fonctions circulaires inverses}$.
Exercice 1.
Une statue de hauteur $s$ est placée sur un piédestal de hauteur $p$. À quelle distance doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maximal ?

Exercice 2.
Démontrer les inégalités suivantes :
\[
\arcsin(a) > \frac{a}{\sqrt{1-a^2}} \quad \text{si } 00.
\]

Exercice 3.
Écrire sous forme d’expression algébrique :
\[
\sin(\arccos x), \quad \cos(\arcsin x), \] \[\sin(3\arctan x).
\]

Exercice 4.
Résoudre les équations suivantes :
\[
\arcsin x = \arcsin\left(\frac{2}{5}\right) + \arcsin\left(\frac{3}{5}\right),
\]
\[
\arccos x = 2\arccos\left(\frac{3}{4}\right),
\]
\[
\arctan x = 2\arctan\left(\frac{1}{2}\right).
\]

Exercice 5.
Vérifier :
\[
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2},
\]
\[
\arctan x + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \mathrm{sgn}(x)\frac{\pi}{2}.
\]

Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses.
Exercice 6.
$\circ$ Montrer qu’il n’existe pas de fonction $f : [1,+\infty[ \to \mathbb{R}$ vérifiant :
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(\cosh x)=e^x.
\]
$\circ$ Déterminer toutes les fonctions $f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ telles que :
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(e^x)=\cosh x.
\]
Préciser le nombre de solutions.
$\circ$ Déterminer toutes les fonctions $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ telles que :
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(e^x)=\cosh x.
\]
Préciser le nombre de solutions. Y a-t-il des solutions continues sur $\mathbb{R}_+$ ?

Exercice 7.
Calculer :
\[
\lim_{x \to +\infty} e^x(\cosh^3 x - \sinh^3 x),
\]
\[
\lim_{x \to +\infty} \left(x - \ln(\cosh x)\right).
\]

Exercice 8.
Les réels $x$ et $y$ étant liés par :
\[
x = \ln\left(\tan\left(\frac{y}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right),
\]
calculer $\cosh x$, $\sinh x$ et $\tanh x$ en fonction de $y$.

Exercice 9.
Résoudre l’équation $x^y = y^x$ où $x$ et $y$ sont des entiers positifs non nuls.

$\texttt{Indications}$
$\textit{Indication 1.}$
Faire un dessin. Remarquer que maximiser l’angle d’observation $\alpha$ revient à maximiser $\tan \alpha$. Puis calculer $\tan \alpha$ en fonction de la distance et étudier cette fonction.

$\textit{Indication 2.}$
On pourra étudier les fonctions définies par la différence des deux termes de l’inégalité.

$\textit{Indication 3.}$
Il faut utiliser les identités trigonométriques classiques.

$\textit{Indication 4.}$
On compose les équations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la première.

$\textit{Indication 5.}$
Faire une étude de fonction.

$\textit{Indication 6.}$
$\circ$ Regarder ce qui se passe en deux valeurs opposées $x$ et $-x$.
$\circ$ Poser $X = e^x$.

$\textit{Indication 7.}$
Montrer que l’équation $x^y = y^x$ est équivalente à :
\[
\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln y}{y},
\]
puis étudier la fonction $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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