Développement limité (2)

Exercice 3.
Calculer les limites suivantes :
$\circ$ $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$
$\circ$ $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}$
$\circ$ $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

$\texttt{Correction Exercice 3.}$
$\circ$ $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
\[
\Rightarrow \frac{e^x -1 -x}{x^2} \to \frac{1}{2}
\]
$\circ$ $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
\[
\Rightarrow \frac{\ln(1+x)-x}{x^2} \to -\frac{1}{2}
\]
$\circ$ $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
\[
\Rightarrow \frac{\sin x - x}{x^3} \to -\frac{1}{6}
\]

Exercice 4.
Déterminer un équivalent simple lorsque $x \to 0$ :
$\circ$ $\sqrt{1+x} - 1$
$\circ$ $\ln(1+x)$
$\circ$ $\tan(x)$

$\texttt{Correction Exercice 4.}$
$\circ$ $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} + o(x)$
\[
\Rightarrow \sqrt{1+x}-1 \sim \frac{x}{2}
\]
$\circ$ $\ln(1+x) \sim x$
$\circ$ $\tan(x) \sim x$

Exercice 5.
Calculer :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1 - \frac{x}{2}}{x^2}
\]

$\texttt{Correction Exercice 5.}$
\[
\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)
\]
Donc :
\[
\frac{\sqrt{1+x} -1 -\frac{x}{2}}{x^2} \to -\frac{1}{8}
\]

Exercice 6.
Étudier la limite :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{x^2}
\]

$\texttt{Correction Exercice 6.}$
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
Donc :
\[
e^x - \cos x - x = x^2 + o(x^2)
\]
\[
\Rightarrow \frac{e^x - \cos x - x}{x^2} \to 1
\]

Exercice 7.
Soit :
\[
f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}
\]
$\circ$ Déterminer la limite en 0
$\circ$ Donner un DL à l'ordre 2

$\texttt{Correction Exercice 7.}$

$\circ$ $\ln(1+x) \sim x \Rightarrow f(x) \to 1$
$\circ$
\[
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)
\]
\[
f(x)=1 - \frac{x}{2} + o(x)
\]

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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