Contrôle Continu d'Algèbre Linéaire (GLBD 1)

Exercice 1 (10 points)
On dit que deux matrices carrées $A$ et $D$ sont semblables s'il existe une matrice inversible $P$ telle que
\[
A = PDP^{-1},
\]
où $P^{-1}$ désigne l'inverse de $P$.

On donne
\[D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\]
\[P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\]
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

$\circ$ Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$. $\qquad$ (2 pts)
$\circ$ Calculer $PDP^{-1}$ et en déduire que $A$ et $D$ sont semblables. $\qquad$ (4 pts)
$\bullet$
$\circ$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $A^n = PD^nP^{-1}$. $\qquad$ (2 pts)
$\circ$ Calculer alors $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. $\qquad$ (2 pts)

{Exercice 2 (10 points)}
On considère l'application
\[
f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\qquad
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix} 2x + 3y \\ -y \\ z \end{pmatrix}.
\]
L'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ est muni de sa base canonique $B = (\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$.

$\bullet$ Démontrer que $f$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$. $\qquad$ (2 pts)
$\bullet$ Déterminer la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique $B$. La matrice $A$ est‑elle diagonale ? $\qquad$ (2 pts)
$\bullet$ On pose
\[
u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad
u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\]
\[u_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad
B' = (u_1, u_2, u_3).
\]
$\bullet$ Montrer que $u_1, u_2, u_3$ sont des vecteurs propres de $f$ et déterminer les valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ associées. En déduire que $f$ est diagonalisable. $\qquad$ (2 pts)
$\bullet$ Montrer que la famille $B'$ forme une base de $\mathbb{R}^3$. $\qquad$ (2 pts)
$\bullet$ On désigne par $P$ la matrice de passage de la base canonique $B$ vers $B'$ et par $P^{-1}$ la matrice de passage de $B'$ vers $B$. Déterminer $P$, $P^{-1}$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$. $\qquad$ (2 pts)

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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