Suites numériques

Ce fichier comporte 7 exercices sur les suites numériques avec corrigés dans un autre fichier PDF. Faites l'effort de les traiter d'abord avant de consulter les corrigés.

$\textbf{Exercice 1}.$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Donner une démonstration de chaque assertion vraie, et donner un contre-exemple de chaque assertion fausse.
$\circ$ Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
$\circ$ Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire à partir d'un certain rang.
$\circ$ Si une suite positive tend vers zéro, elle est décroissante.
$\circ$ Si une suite positive tend vers zéro, elle est décroissante à partir d'un certain rang.
$\circ$ Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
$\circ$ Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.

$\textbf{Exercice 2}.$
Soient $a$ et $b$ deux réels fixés ; on considère une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = a u_n + b.
\]
Trouver $l \in \mathbb{R}$ pour que $(u_n - l)_n$ soit une suite géométrique. Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la suite $(u_n)_n$ est-elle convergente ?

$\textbf{Exercice 3}.$
Étudier la convergence des suites
\[
\sqrt{n^2 + n + 1} - \sqrt{n},\quad
\frac{n \sin n}{n^2 + 1},\]
\[\frac{1}{n} + (-1)^n,\quad
n \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{1}{n^2 + k},\]
\[\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos \frac{1}{\sqrt{n+k}}.
\]

$\textbf{Exercice 4}.$
Étudier les limites suivantes lorsque $n \to \infty$ :
\[
n^{2}2^{-n},\quad
n^{\alpha}a^{n}\;(\alpha\in\mathbb{R},\;a\in\mathbb{R}_{+}^{*}),\]
\[\frac{2^{n}}{n!},\quad
\frac{a^{n}}{n!},\quad
\frac{n^{n}}{n!},\]
\[n^{2}a^{-\sqrt{n}}\;(a\in\mathbb{R}_{+}^{*}),\]
\[n^{\alpha}e^{-(\ln n)^{2}}\;(\alpha>0).
\]

$\textbf{Exercice 5}.$
Le but de cet exercice est l'étude de la suite $(\cos n\alpha)_n$, où $\alpha$ est un réel.
$\circ$ Que peut-on dire si $\sin\alpha = 0$ ?
$\circ$ On suppose désormais que $\sin\alpha \neq 0$, et on veut montrer que $(\cos n\alpha)_n$ n'a pas de limite. On suppose, en vue d'obtenir une contradiction, que $(\cos n\alpha)_n$ admet une limite $l$. Montrer, en considérant la suite $(\cos (n+1)\alpha)_n$, qu'alors
\[
\lim_{n\to\infty} \sin n\alpha = l\,\frac{\cos\alpha-1}{\sin\alpha}.
\]
$\circ$ Puis, en considérant $\sin 2n\alpha$, montrer que $l \in \{0,\,1/2\}$.
$\circ$ Enfin, en considérant $\cos 2n\alpha$, montrer que $l = 2l^2-1$. Conclure.

$\textbf{Exercice 6}.$
Étudier les suites récurrentes suivantes :
$\circ$ $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.
$\circ$ $v_0 \in \mathbb{R}$ et $v_{n+1} = v_n - v_n^2$.

$\textbf{Exercice 7}.$
On considère les deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies par
\[
u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \quad \text{et} \quad v_n = u_n + \frac{1}{n!}.
\]
$\circ$ Montrer que $(u_n)_n$ est strictement croissante, et que $(v_n)_n$ est strictement décroissante à partir d'un certain rang.
$\circ$ En déduire que $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ convergent vers une même limite $l$.
$\circ$ Montrer que cette limite est irrationnelle.

$\texttt{Solutions}$

$\textit{Solution de l'exercice 1.}$
$\circ$ L'assertion est fausse. Par exemple, la suite $(u_n)$ définie par
\[
u_n = \begin{cases}
0 & \text{si $n$ est pair,}\\
n & \text{sinon}
\end{cases}
\]
est positive, non majorée, et ne tend pas vers l'infini.

$\circ$ L'assertion est vraie. Par hypothèse, il existe $l \in \mathbb{R}$ tel que
\[
\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N} :\]
\[[n \geq N \implies \vert u_n - l\vert < \varepsilon].
\]

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