Compléments sur le calcul approché d’intégrales : méthodes de quadrature

Le calcul approché d’intégrales utilise des méthodes de quadrature pour estimer la valeur d’une intégrale lorsque le calcul exact est difficile. Des techniques comme les méthodes des rectangles, des trapèzes ou de Simpson permettent d’obtenir des approximations précises à partir de valeurs discrètes de la fonction.

Compléments sur le calcul approché d’intégrales : méthodes de quadrature

1. Méthodes de Newton‑Cotes

Formule de quadrature simple

On approche \(\int_a^b f(x)\,dx\) par \(I_N(f)=\sum_{j=0}^N \lambda_j f(x_j)\), où les \(x_j\in[a,b]\) sont les nœuds et les \(\lambda_j\) des poids. L’erreur est \(E_N(f)=\int_a^b f - I_N(f)\).

Ordre

La formule est d’ordre \(\ge K\) si elle est exacte pour tout polynôme de degré \(\le K\). Elle est de type interpolation si \(I_N(f)=\int_a^b P_N(f)(x)\,dx\) avec \(P_N(f)\) le polynôme d’interpolation de Lagrange aux nœuds \(x_j\). On a alors \(\lambda_i=\int_a^b L_i(x)\,dx\) où \(L_i\) sont les polynômes de Lagrange.

Proposition

Une formule à \(N+1\) points est d’ordre \(\ge N\) ssi elle est de type interpolation.

Newton‑Cotes (nœuds équidistants)

Si \(x_j=a+\frac{j}{N}(b-a)\), alors :

1. Symétrie : \(\lambda_{N-j}=\lambda_j\).


2. Si \(N\) est pair, la formule est d’ordre \(\ge N+1\) (exactement \(N+1\)) ; si \(N\) impair, l’ordre est exactement \(N\).

Erreur pour une formule de type interpolation

Soit \(\omega(x)=\prod_{j=0}^N (x-x_j)\). Pour \(f\in C^{N+1}\),
\[
|E_N(f)|\le \frac{b-a}{(N+1)!}\,\|\omega\|_\infty\,\|f^{(N+1)}\|_\infty \] \[\le \frac{(b-a)^{N+2}}{(N+1)!}\,\|f^{(N+1)}\|_\infty .
\]
Formule de quadrature composée

On subdivise \([a,b]\) en \(n\) sous‑intervalles \([a_k,a_{k+1}]\) (souvent équidistants) et on applique la même formule simple sur chaque sous‑intervalle. L’erreur globale vérifie
\[
|E(f)|\le \frac{(b-a)^{N+2}}{(N+1)!\,n^{N+1}}\,\|f^{(N+1)}\|_\infty .
\]
Ainsi, en augmentant \(n\) on fait tendre l’erreur vers 0.

Noyau de Peano

Si la formule est d’ordre \(m\), on a
\[
E(f)=\frac{1}{m!}\int_a^b K_m(t)\,f^{(m+1)}(t)\,dt,\] \[
K_m(t)=E\bigl((x-t)_+^m\bigr).
\]
Cela permet d’obtenir une estimation plus fine de l’erreur.

5.2 Méthode de Gauss

On cherche à maximiser l’ordre de la formule simple. Avec \(N+1\) points, on peut espérer au plus l’ordre \(2N+1\) (car on a \(2(N+1)\) paramètres). Cet optimum est atteint en choisissant les nœuds comme les racines du polynôme orthogonal unitaire \(p_{N+1}\) (relatif à \([a,b]\) et au produit scalaire \(L^2\)) – ce sont les points de Gauss‑Legendre. Les poids sont alors donnés par \(\lambda_i=\int_a^b L_i(x)\,dx\).

Théorème

La méthode de Gauss à \(N+1\) points est d’ordre exactement \(2N+1\). De plus, tous les poids sont positifs et pour toute fonction continue sur \([a,b]\) l’erreur tend vers 0 quand \(N\to\infty\).

En quadrature composée avec la méthode de Gauss, l’erreur est en \(O\bigl(n^{-(2N+2)}\bigr)\) pour une fonction suffisamment régulière.

Références

[1] Buff X. et al., Mathématiques Tout‑en‑un pour la Licence 2, Dunod, 2007.

[2] Crouzeix M., Mignot A.L., Analyse Numérique des équations différentielles, Masson, 1984.

[3] Demailly J.-P., Analyse Numérique et équations différentielles, Presses Universitaires de Grenoble, 1991.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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