Il décrit le comportement de la moyenne d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes.
Principe clé : quelle que soit la distribution initiale des données, la distribution des moyennes tend vers une loi normale quand le nombre d’observations devient grand.
Conditions principales :
Les variables doivent être indépendantes.
Elles doivent avoir une variance finie.

Théorèmes limites

Soit $(X_n)_{n\ge 1}$ une suite de v.a. indépendantes et de même loi, avec espérance $m$ et variance $\sigma^2$.

1. Loi des grands nombres

Moyenne empirique : $\displaystyle \overline{X}_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.
On a $E[\overline{X}_n]=m$, $\operatorname{Var}(\overline{X}_n)=\sigma^2/n$.

Inégalité de Chebyshev : pour tout $x>0$,
\[
P(|X-E(X)| > x) \le \frac{\operatorname{Var}(X)}{x^2}.
\]
Loi des grands nombres : pour tout $\varepsilon>0$,
\[
\lim_{n\to\infty} P(|\overline{X}_n - m| > \varepsilon)=0.
\]
(convergence en probabilité de $\overline{X}_n$ vers $m$).

Application : fréquence empirique $f_A$ d’un événement $A$ converge vers $P(A)$.

2. Théorème central limite (TCL)

Pour tous $a$ inférieur à $b$,
\[
\lim_{n\to\infty} P\left(a \le \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \le b\right)
=\] \[ \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx.
\]
Ainsi $\frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$.

Conséquence : approximation de la loi binomiale.
Soit $S_n \sim \mathcal{B}(n,p)$. Alors
\[
\frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \;\approx\; \mathcal{N}(0,1),
\]
c’est-à-dire $S_n$ est proche de $\mathcal{N}\bigl(np, \sqrt{np(1-p)}\bigr)$.

Correction de continuité : pour $n\ge30$, $np\ge5$, $n(1-p)\ge5$,
\(P(X\le k) \approx P\bigl(Y \le k+0.5\bigr),\)
\(P(a\le X\le b)\) \(\approx\) \( P\bigl(a-0.5 \le Y \le b+0.5\bigr),\)
où $Y \sim \mathcal{N}(np, \sqrt{np(1-p)})$.

3. Intervalles de confiance pour la moyenne

Soit $\overline{X}_n$ la moyenne empirique d’un échantillon de taille $n$ ($n$ grand).
L’estimateur de $m$ est $\overline{X}_n$, avec erreur standard $\sigma/\sqrt{n}$.

Pour un niveau de confiance $1-\alpha$, l’intervalle de confiance est
\[
\left[\,\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\;
\overline{X}_n + z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,\right],
\]
où $z_{\alpha/2}$ est le fractile supérieur d’ordre $\alpha/2$ de $\mathcal{N}(0,1)$ :
\[
P(Z \ge z_{\alpha/2}) = \frac{\alpha}{2}.
\]
Valeurs usuelles :
- $\alpha=0,01$ → $z_{0,005}=2,58$
- $\alpha=0,05$ → $z_{0,025}=1,96$
- $\alpha=0,1$ → $z_{0,05}=1,645$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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