Les équations différentielles sont des équations qui relient une fonction inconnue à ses dérivées. Elles servent à modéliser des phénomènes d’évolution comme le mouvement, la croissance, la décroissance ou les échanges. Le cours porte surtout sur les équations du premier ordre et du second ordre, avec des méthodes de résolution adaptées à leur forme. Les solutions décrivent des familles de fonctions et leur étude permet de comprendre le comportement du système dans le temps.

Équations différentielles du second ordre

1. Définitions

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est de la forme :
\[
ax''(t) + bx'(t) + cx(t) = d(t), \quad a \neq 0
\]
Si $d(t)=0$, l’équation est dite sans second membre :
\[
ax''(t) + bx'(t) + cx(t) = 0
\]
Une fonction $f$ est solution si :
\[
af''(t) + bf'(t) + cf(t) = d(t)
\]

2. Équation caractéristique

À l’équation sans second membre, on associe :
\[
ar^2 + br + c = 0
\]
On pose le discriminant :
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Cas des solutions

Si $\Delta > 0$, deux racines réelles $r_1, r_2$ :
\[
x(t) = \lambda e^{r_1 t} + \mu e^{r_2 t}
\]
Si $\Delta = 0$, racine double $r$ :
\[
x(t) = (\lambda + \mu t)e^{rt}
\]
Si $\Delta < 0$, racines complexes $r = \alpha \pm i\beta$ :
\[
x(t) = (\lambda \cos(\beta t) + \mu \sin(\beta t)) e^{\alpha t}
\]

3. Résolution avec second membre

On considère :
\[
ax''(t) + bx'(t) + cx(t) = d(t)
\]
La solution générale est :
\[
x(t) = x_h(t) + x_p(t)
\]
où $x_h$ est solution de l’équation sans second membre et $x_p$ une solution particulière.

Méthode

1. Résoudre l’équation homogène
2. Chercher une solution particulière adaptée à $d(t)$
3. Faire la somme

4. Recherche d’une solution particulière

On choisit une forme adaptée à $d(t)$.

Si $d(t)$ est un polynôme $\Rightarrow$ on cherche un polynôme.

Si $d(t)$ est de type exponentiel $\Rightarrow$ forme $ke^{at}$.

Si $d(t)$ est trigonométrique $\Rightarrow$ combinaison de $\cos$ et $\sin$.

On remplace dans l’équation pour déterminer les coefficients.

5. Conditions initiales

On peut imposer :
\[
x(t_0) = y_0 \quad \text{et} \quad x'(t_0) = y_1
\]
Ces conditions permettent de déterminer $\lambda$ et $\mu$.

Théorème

Il existe une unique solution vérifiant ces deux conditions.

6. Méthode complète de résolution

Pour résoudre une équation différentielle :

1- Résoudre l’équation homogène associée

2- Déterminer une solution particulière

3- Additionner les deux solutions

4- Utiliser les conditions initiales pour trouver les constantes

7. Exemple type (structure)

Pour une équation :
\[
y'' + 2y' + y = 2e^{-x}
\]
On trouve :
(a)- Solution homogène :
\[
y_h(x) = (\lambda + \mu x)e^{-x}
\]
(b)- Solution particulière :
\[
y_p(x) = x^2 e^{-x}
\]
(c)- Solution générale :
\[
y(x) = (\lambda + \mu x + x^2)e^{-x}
\]
Avec conditions initiales :
\[
y(0)=1, \quad y'(0)=1
\]
On obtient :
\[
\lambda = 1, \quad \mu = 2
\]
(d)- Solution finale :
\[
y(x) = (1 + 2x + x^2)e^{-x}
\]

8. À retenir

$\textbf{1.}$ Toute solution = homogène + particulière.

$\textbf{2.}$ Le discriminant détermine la forme de la solution.

$\textbf{3.}$ Les conditions initiales donnent une solution unique.

$\textbf{4.}$ La méthode repose sur une procédure systématique.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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